２重積分例題
初めに（20210619）
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例題①
以下の図に示される２つの直線に囲まれた面積
に対して重積分を使って求めてみましょう。
やり方としては、まず求める面積を
とし、それを上図右側のように２つに分割してそれぞれを
と置きます。
の間では、
さらに
の間では、
といった感じで積分領域を区分けし、これを計算していきます。
例題②
底辺の長さが
、高さが
の二等辺三角形の面積。
３つの頂点の座標点を
とします。
領域を図のように
の二つに分けて考えます。
の計算
から、直線の方程式より、
これが
方向の上限になります。
以下のように積分領域を決定して計算していきます。
の計算
より、先ほどと同様にして直線の方程式に代入して計算していきます。
これが
における方向の上限になります。
同様にして積分範囲を決定して計算していきます。
これより以下のように求まります。
例題③
角度
の範囲の半径が
の円の面積。
これの積分領域は、
よって積分の式は次のようになります。
これを計算していきます。
ここで
という変数変換（置換積分）をすると、
となるので、
より、
例題④
半径がの円の面積。
ここで先ほどと同じようにとする変数変換をすると、
となるのでこれを代入して計算していけば、
より、
ついでに例題③と例題④の積分計算を今度は極座標でやってみましょう。
このデカルトから極座標へ移行する場合、
となることに注意します。
例題③極座標の場合
極座標のときの積分領域は、
これにより、
例題④極座標のとき
このときの積分領域は、
これにより、
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