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2重積分例題

2重積分例題

初めに(20210619)

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例題@

以下の図に示される2つの直線に囲まれた面積2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数をに重積分を使って求めてみましょう。

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

やり方としては、まず求める面積を2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数とし、それを右図のように2つに分割してそれぞれを2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数と置きます。 2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数の間では

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

さらに2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数の間では

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

といった感じで積分領域を区分けし、これを計算していきます。

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 


例題A

底辺の長さが2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数、高さが2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数の二等辺三角形の面積。

 

3つの頂点の座標を2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数とします。

 

 

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

 


領域を図のように2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数の二つに分けて考えます。 2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数の計算

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 


これがy方向の上限になります。

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 


2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数の計算

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 


これがy方向の上限になります。

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 


2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

例題B

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

角度2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数の範囲の半径が2の円の面積。

 

これの積分領域は、

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

よって積分の式は次のようになります。

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

これを計算していきます。

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

ここで2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数という変数変換(置換積分)をすると、

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

となるので、

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 


例題C

半径が2の円の面積

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

ここで先ほどと同じように2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数とする変数変換をすると、

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

となるのでこれを代入して計算していけば、

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 


 

ついでに例題BとCの積分計算を今度は極座標でやってみます。

 

このデカルトから極座標へ移行する場合、

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となることに注意しましょう。

例題B極座標の場合

極座標のときの積分領域は、

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これにより、

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

例題C極座標のとき
このときの積分領域は、

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

これにより、

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

2重積分,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,ガウス積分,対数積分,重積分,2重積分,指数関数

 

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