よいこの低学年向け数学ひろば

2重積分

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初めに(20210619)

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重積分−考え方とその手順

積分の式重積分においての微小面積要素微小面積dsは全セクションにおいて示された極座標とデカルトの2種類が挙げられ、どちらを使って求めるかは求める面積の形によってうまく使い分ける必要があります。


こうしたことを前提に、次に示される図形の面積を二重積分の式を使って求めてみましょう。

 

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 

(1)まず求める積分領域積分領域Sxyの不等式で書き表します。

 

積分領域

 

これにより、

重積分例題

(2)積分の実行…一つの文字ずつ積分を実行します。

重積分例題

 

重積分例題

重積分例題

重積分例題

重積分例題


今度は次の図形に対して2重積分を実行してみましょう。

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

(1)最初に積分領域を求めますが、ここで先ほどのやり方を模倣すれば、

 

積分領域

 

としたくなりますがこれは間違いで、こういった図形の場合、まず2つの変数のうちの1つだけを勝手に動かすという作業をします。

0 ? x ? 2

このようにしたら次にもう一つの変数yの制限を考えます。

 

y domain

 

下限におけるyの値はy = 0

 

上限におけるyの値はy = -1/2x + 1

 

これにより、

0 ? y ? -1/2x + 1

となります。


したがって、

重積分積分範囲

 

といった形になります。

 

こういった図形に対しての重積分は多少注意が必要です。

(2)積分の実行。

 

※このときにおける積分順序は積分領域の中に他の変数を含んでいるものから先に実行するようにしてください。

 

なのでこの積分計算においてはまずyからになります。
重積分例題2計算過程

 

重積分例題2計算過程

重積分例題2計算過程

重積分例題2計算過程

重積分例題2計算過程

重積分例題2計算過程


同じ問題に置いて今度は最初にyを動かした場合をやってみると積分領域は、

0 ? y ? 1, 0 ? x ? -2x + 2

となります。

実際に計算してみると、

 

重積分問題積分範囲変更例題

 

重積分問題積分範囲変更例題

重積分問題積分範囲変更例題

重積分問題積分範囲変更例題

重積分問題積分範囲変更例題


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