よいこの低学年向け数学ひろば

重積分−考え方とその手順

積分の式においての微小面積要素は全セクションにおいて示された極座標とデカルトの２種類が挙げられ、どちらを使って求めるかは求める面積の形によってうまく使い分ける必要があります。

こうしたことを前提に、次に示される図形の面積を二重積分の式を使って求めてみましょう。

まず求める積分領域をとの不等式で書き表します。

これにより、

積分の実行…一つの文字ずつ積分を実行します。

今度は次の図形に対して２重積分を実行してみましょう。

最初に積分領域を求めますが、ここで先ほどのやり方を模倣すれば、

としたくなりますがこれは間違いで、こういった図形の場合、まず２つの変数のうちの１つだけを勝手に動かすという作業をします。

このようにしたら次にもう一つの変数の制限を考えます。

下限におけるの値は、

上限におけるの値は。

これにより、

となります。

したがって、

といった形になります。

こういった図形に対しての重積分は多少注意が必要です。

積分の実行。

※このときにおける積分順序は積分領域の中に他の変数を含んでいるものから先に実行するようにしてください。

なのでこの積分計算においてはまずからになります。

同じ問題に置いて今度は最初にを動かした場合をやってみると積分領域は、

となります。

実際に計算してみると、

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基本的に当サイトでは数学の苦手な方でも理解できることを目的としているので（証明のない数学などはありませんが）わかりづらい表記や説明はなるべく避け、あくまで道具としての数学を習得させることなどを目標としています。内容は慣性モーメントに関する部分だけでなく、最初のほうには慣性モーメントの計算において使用する微分積分に関する簡単な知識、二重積分および三重積分などの重積分法による面積および体積の導出などをこのカテゴリーに収めてあります。復習だとおもって軽く読み飛ばしてみてください。

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