よくわかる慣性モーメント>>ヤコビアン−関数行列式

dv計算法−答え

答え

初めに(20210619)

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問題@答え

立方体の体積を求める要領と同じになります。

 

三重積分による直方体の体積の積分計算過程

 

 

三重積分による直方体の体積の積分計算過程

三重積分による直方体の体積の積分計算過程


 

3重積分による直方体の積分計算

 

 

三重積分による直方体の体積の積分計算過程

 

重積分形式であえて表現すると以上のような形で計算を実施していくという意味になります。

問題Aの答え

極座標におけるヤコビアンを使用します。

極座標におけるヤコビアン

円の体積

 

 

ちなみにthetaphiの範囲についてですが、これはまずr0からaまで伸ばし、さらにはthetaに関しては、例えばz軸から0を中心にして180度動かし、そしてphiに関して360度回転させるという道筋になっています。

なのでthetaはその範囲が0 < theta < piとなります。


2piにはなりません。

 

球の体積積分計算過程

 

球の体積積分計算過程

球の体積積分計算過程

球の体積積分計算過程


ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標

 

これにより以下のように求まります。

 

 

球の体積積分計算結果


この場合、円柱座標におけるヤコビアンを使用します。

円柱座標系におけるヤコビアン

 

ちなみにrの範囲についてですが、これは次のような相似関係を利用して導き出しています。

 

円錐の相似関係式とその計算過程

 

円錐の相似関係式とその計算過程


 


円錐の相似関係式とその計算過程


円錐の体積積分計算過程

 

 

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算結果


 

よって円錐の体積は次のように求まります。

 

 

円錐の体積積分計算結果


 

問題Cの答え

重積分による円盤の質量計算過程

 

比例定数を比例定数cとおきます。

 

そうしたときrho(r)は、

 

円盤の面積密度

平面極座標においてのヤコビアンは平面極座標におけるヤコビアンなので微小面積要素は、

 

円盤の微小面積要素

 

円盤の微小面積要素範囲


 

 

円盤の積分計算過程

 

円盤の積分計算過程

 

円盤の積分計算過程

 

円錐の積分計算過程


 

 

 

円錐の体積積分計算結果


 

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