答え
初めに(20210619)
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問題@答え
立方体の体積を求める要領と同じになります。
重積分形式であえて表現すると以上のような形で計算を実施していくという意味になります。
問題Aの答え
極座標におけるヤコビアンを使用します。
ちなみにとの範囲についてですが、これはまずをからまで伸ばし、さらにはに関しては、例えば軸からを中心にして180度動かし、そしてに関して360度回転させるという道筋になっています。
なのではその範囲がとなります。
にはなりません。
これにより以下のように求まります。
この場合、円柱座標におけるヤコビアンを使用します。
ちなみにの範囲についてですが、これは次のような相似関係を利用して導き出しています。
これをの積分範囲として代入して以下のようにして計算していきます。
よって円錐の体積は次のように求まります。
問題Cの答え
比例定数をとおきます。
そうしたときは、
平面極座標においてのヤコビアンはなので微小面積要素は、
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