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dvの計算法−ヤコビアンを使うやり方

微小面積要素dvの求め方

初めに(20210619)

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dv計算法-ヤコビアンを使うやり方

座標系慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤座標系慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤へ座標変換するとき先ほどのセクションで出てきた関数行列式をつかうと次のようになります。

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

ここで中央部分の行列は、

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極座標

実際にデカルトから極へ移行するときの慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤を関数行列式で求めてみましょう。

 

まず、

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

より、これに対する関数行列式(ヤコビアン)は次のようになります。

 

 

jacobian

 

この関数行列式(ヤコビアン)における慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤の位置表現に対してはつぎのものを使います。

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

これらをヤコビアンの行列式の中に示されるそれぞれの偏微分の式に当てはめて計算していけば、

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これらにより極座標におけるヤコビアンは、

極座標におけるヤコビアン

となるので、今度は実際にこのヤコビアンを計算していきます。
ちなみにここではサラスによる計算法ではなく、行列式展開法というやり方でその計算過程を示します。 慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤
慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 

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慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 


 

よって極座標における微小体積要素慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤は次のようになります。

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円柱座標

今度はデカルトから円柱座標へのヤコビアンを求めてみましょう。

 

円柱座標は、

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となるので、この円柱座標に対するヤコビアンの中の偏微分の式は、

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それぞれの偏微分を計算していくと、
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慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 


代入していきます。

 

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慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 

慣性モーメント,計算方法,ヤコビアン,微分積分,重積分,棒,長方形,直方体,円盤,円輪,円柱,半球体,くり抜き円盤

 

よって円柱座標における微小体積要素dvは次のようになります。

 

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