よいこの低学年向け数学ひろば

dvの計算法−ヤコビアンを使うやり方

微小面積要素dvの求め方

初めに(20210619)

当サイトを参考にしてサイト作成・運営している方へお願い

バックリンクをお願いいたします。

dv計算法-ヤコビアンを使うやり方

座標系3次元座標移動   座標系3次元座標移動へ座標変換するとき先ほどのセクションで出てきた関数行列式をつかうと次のようになります。

 

3次元座標変換ヤコビアン

 

ここで中央部分の行列は、

 

3次元座標変換ヤコビアン

 

となることに中止します。

極座標

実際にデカルトから極へ移行するときのデカルト座標から極座標へを関数行列式で求めてみましょう。

 

 

まず、

デカルト座標から極座標へ

 

より、これに対する関数行列式(ヤコビアン)は次のようになります。

 

 

jacobian

 

この関数行列式(ヤコビアン)におけるx, y, zの位置表現に対してはつぎのものを使います。

 

極座標変換

 

 

これらをヤコビアンの行列式の中に示されるそれぞれの偏微分の式に当てはめて計算していけば、

極座標変換

極座標変換

極座標変換

 

上記の結果によりにより極座標におけるヤコビアンは、

 

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換

 

 

となるので、今度は実際にこのヤコビアンを計算していきます。

ちなみにここではサラスによる計算法ではなく、行列式展開法というやり方でその計算過程を示します。

 

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換



 

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換


 

 

よって極座標における微小体積要素ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換は次のようになります。

ヤコビアン(関数行列式)による極座標変換

円柱座標

今度はデカルトから円柱座標へのヤコビアンを求めてみましょう。

 

円柱座標は、

円柱座標系

となるので、この円柱座標に対するヤコビアンの中の偏微分の式は、

デカルト座標から極座標へ


円柱座標系

それぞれの偏微分を計算していくと、

円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算


円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算


円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算

代入していきます。

 

円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算


 

円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算

円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算

円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算

円柱座標系へのヤコビアン行列式の計算


 

よって円柱座標における微小体積要素微小体積要素dvは次のようになります。

 

円柱座標系の微小体積要素計算の結果

next up previous

dvの計算法−ヤコビアンを使うやり方関連ページ

微小面積要素の計算
ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。
dv計算の問題
ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。
答え
ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。

ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 微分積分学 ヤコビアン 質点系と剛体の力学 平行軸の定理 慣性モーメントの計算