よくわかる慣性モーメント>>ヤコビアン−関数行列式

関数行列式（ヤコビアン）

ある座標系を他の座標系へ変えるとき、

という式が成り立ちます。

このときのをヤコビアン（関数行列式）と呼び、次のように表せるものになります。

実際にデカルトから極座標への変換をこのヤコビアン（関数行列式）をつかって求めてみましょう。

まず、デカルト座標においてを表すと、

このの式をそれぞれによって偏微分していきます。

座標系からへ移行するヤコビアンは、

これにそれぞれを代入してこの行列式を計算していきます。

※）20220727訂正。右辺第2式の行列式2行2列のrcosθがcosθになっていました。訂正しお詫び申し上げます。

上記の計算結果を入れれば、

よってデカルト座標のは、ヤコビアンによる平面極座標変換によって以下のように求まります。

微小体積要素の移動ルート

一般的な座標への移動を考えてみましょう。

デカルト座標系

上記のルート表にデカルト座標系を当てはめていけば次のようになります。

極座標系

円柱座標系

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dvの計算法

慣性モーメントとは、簡単に説明すれば物体（剛体）の回転のしづらさ、回りだす変化のしにくさを示す物体の物理的な特性のことだと考えることができるでしょう。またさらに別の言い方をすれば回転の方程式といえるかもしれません。このサイトは主にこの慣性モーメントの導出の仕方と計算法を中心に解説した内容になっています。

ｄｖ計算の問題

ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。

答え

ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。