微小面積要素の計算
初めに(20210619)
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関数行列式(ヤコビアン)
ある座標系を他の座標系
へ変えるとき、
という式が成り立ちます。
このときのをヤコビアン(関数行列式)と呼び、次のように表せるものになります。
実際にデカルトから極座標への変換をこのヤコビアン(関数行列式)をつかって求めてみましょう。
まず、デカルト座標においてを表すと、
このの式をそれぞれ
によって偏微分していきます。
座標系から
へ移行するヤコビアンは、
これにそれぞれを代入してこの行列式を計算していきます。
※)20220727訂正。右辺第2式の行列式2行2列のrcosθがcosθになっていました。訂正しお詫び申し上げます。
上記の計算結果を入れれば、
よってデカルト座標のは、ヤコビアンによる平面極座標変換によって以下のように求まります。
極座標系
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- dv計算の問題
- ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。
- 答え
- ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。