質点系の力学
初めに（20210619）
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※複数の質点からなる物理系の話
離散的な系
次に示される三質点系を考えます。
この時各質点に働く力は、
| 外力 |
|
|---|---|
| 内力 |
|
さらに内外の場合、必ず作用・反作用の法則によって大きさが同じで向きが逆の一組の力があると考えます。
物理法則
上記の三質点系については次のような運動方程式が成立します。
１～３の質点の運動方程式は、それぞれ、
この
をそれぞれみたすと、
となりますが、ここで先ほど示した作用反作用のによる一組の力
を使うと、
などとなるので結局、
といった具合になります。
さらにここにおいて重心を、
とした場合、次のように表現できます。
のところに質量
の質点があってそれに（すべての外力）が働いている―。
かなり大雑把な言い方になりますがは次のような区分けができるかと思います。
| 離散的な系 |
|
|---|---|
| 連続的な系 |
|
例題① － 棒の重心
以下に示すような長さが
の均一な質量
の棒の重心を求めてみましょう。
まず長さが
の部分の質量
を求めます。
ディメンジョン１と捉えれば、この棒の線密度は、
これにより、
連続的であるので、
よって長さの棒の重心は以下のようになります。
例題② － 円錐の重心
上図のような均一な質量が
で高さが
、底面の半径が
の円錐の重心を求めてみましょう。
まずは円錐の体積は、
これにより円錐の体積密度は、
ここでは円錐の任意の高さに対する半径
で面積が
、厚さ
の微小厚さの円盤の質量をとすると、
として、次のように円錐の質量を
と置きます。
また、円錐の重心に関しては図から
軸周りにあると考えられるので軸線軸上の任意の点zを距離変数として次のように採用します。
これらを代入すれば、
また、図中のに関しては以下のような相似関係を使って導いています。
これらにより、円錐の重心は分母の円錐質量のとわかっているので上記式の分子がわかれば重心の位置が求まることになります。
上記式の分子の部分を計算していきます。
の式に代入していきます。
これより、円錐の重心は以下のように求まります。
例題③ － 正方形の重心
軸におけるそれぞれの単位ベクターを
とすると、
となるので、
微小部分の面積は
、
密度は、
これらにより、
よって正方形の板の重心は、
よって以下のように求まります。
質点系の力学関連ページ
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