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円盤の慣性モーメント@

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円盤の対称軸に関する慣性モーメントの計算

対称軸に関する円盤の慣性モーメント

【T】−半径半径R、質量が質量Mの円盤を考えます。

 

この円盤の中心を通りその円盤に垂直な軸のまわりの慣性モーメントを求めてみましょう。

 

まず座標系は2次元の平面極座標としてとらえます。

 

この時の微小部分の面積はヤコビアンの計算平面極座標ヤコビアン:Jにより、

 

平面極座標ヤコビアン:r

 

平面極座標ヤコビアン:r

さらに全質量が質量M、面積が平面極座標ヤコビアン:rであるので円盤の密度円盤の密度ρは、

 

円盤の密度ρ

 

よって微小部分の質量は、

 

円盤の微小面積要素

 

軸からの距離、

 

円盤の軸から微小面積要道への距離

 

 

これらの結果により、円盤のdIは次のようになります。

 

円盤の微小面積要素dI

積分によってたし上げます。

 

円盤の慣性モーメント計算過程

 

円盤の慣性モーメント積分計算過程

円盤の慣性モーメント積分計算過程

円盤の慣性モーメント計算過程


 

よって円盤の慣性モーメントは次のようになります。

 

 

z軸周りの円盤の慣性モーメント計算結果

 

 

【U】−回転軸が円盤の中心を通り円盤と平行な場合の慣性モーメントの計算過程

重心を通る対称軸に関する慣性モーメント

円盤の質量を円盤の質量M、半径をRとします。

先ほどと同じように微小面積は円盤の微小部分におけるヤコビアン

 

さらにこの場合軸からの距離は、

円盤の重心を通り円盤の法線面と平行な回転軸からの距離

または円盤の重心を通り円盤の法線面と平行な回転軸からの距離sinthetaの場合でもかまいません。

 

これらにより円盤の微小部分における慣性モーメントは、

円盤の微小部分における慣性モーメント

たし上げます。

円盤の微小部分における慣性モーメント

 

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算過程

 

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算過程

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算過程

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算過程

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算過程

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算過程

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算過程



 

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算結果

よって円盤面内の軸に関する慣性モーメントは、

 

円盤の重心を通り法線面と平行な軸に関する慣性モーメントの積分計算結果

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