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円盤の慣性モーメントA

円盤の慣性モーメントそのA

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円盤の中心を通り、円盤の法線と慣性モーメント,円盤,計算,方向余弦,斜めの角をなす直線に関する慣性モーメント

円盤の中心を通り円盤の法線とαの角をなす直線移管する慣性モーメント

円盤の半径を円盤の半径a、質量を円盤の質量Mとします。

 

円盤の面密度は、

円盤の面密度ρ

 

平面極座標を適用すれば微小部分の面積は円盤の微小部分の面積となるので微小部分の面積は、

円盤の微小部分の面積要素

ここでまず、図のように軸がy - z 平面内平面に含まれるように座標系をとります。

原点を通り方向余弦が軸の方向余弦(l, m, n)の直線と軸の(x, y, z)の距離の2乗は次のように与えられます。

軸の方向余弦の距離の2乗

今考えている点ではx-y平面内平面内にあるのでz=0

 

軸の方向余弦は軸の方向余弦となります。

 

円盤上の点(x, y, 0)と軸の間の距離の2乗は、

角度αの方向余弦

 

 

角度αの方向余弦


これを極座標に変換すると、

 

角度αの方向余弦の距離計算過程

 


角度αの方向余弦の距離計算過程

角度αの方向余弦の距離計算過程


 

 

これにより円盤の微小部分における慣性モーメントdIは、

円盤の微小部分における慣性モーメントdI

これをたし上げます。

 

なお上記円盤の微小部分における慣性モーメントdIに対して積分を実行する場合、以下のような三角関数の公式を使用します。

三角関数の公式

 

これより上式の右辺に関して次のように積分計算を実行していきます。

 

円盤の縫線核αにおける軸に関する慣性モーメントの積分計算過程

 

円盤の縫線核αにおける軸に関する慣性モーメントの積分計算過程


 

さらに上式の右辺第2項に関しては次のように変数変換(置換積分)して積分計算していきます。

 

三角関数の公式における積分計算の変数変換過程

三角関数の公式における積分計算の変数変換過程

 

これを代入して計算していきます。

三角関数の公式における積分計算の変数変換過程

 

三角関数の公式における積分計算の変数変換過程

三角関数の公式における積分計算の変数変換過程

三角関数の公式における積分計算の変数変換過程

三角関数の公式における積分計算の変数変換過程


 

この結果により第一項のみを考えて計算していけばいいことになります。

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程

 

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程



 

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程


 

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算過程


となるので円盤の中心を通り、円盤の法線と慣性モーメント,円盤,計算,方向余弦,斜めの角をなす直線に関する円盤の慣性モーメントは次のようになります。

 

円盤の法線角αにおける慣性モーメントの積分計算結果

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