円盤の慣性モーメントその②
初めに（20210619）
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円盤の中心を通り、円盤の法線と
の角をなす直線に関する慣性モーメント
円盤の半径を
、質量を
とします。
円盤の面密度は、
平面極座標を適用すれば微小部分の面積は
となるので微小部分の面積は、
ここでまず、図のように軸が
平面に含まれるように座標系をとります。
原点を通り方向余弦が
の直線と
の距離の２乗は次のように与えられます。
今考えている点では
平面内にあるので
、
軸の方向余弦は
となります。
円盤上の点
と軸の間の距離の２乗は、
これを極座標に変換すると、
これにより
は、
これをたし上げます。
なお上記に対して積分を実行する場合、以下のような三角関数の公式を使用します。
これより上式の右辺に関して次のように積分計算を実行していきます。
さらに上式の右辺第2項に関しては次のように変数変換（置換積分）して積分計算していきます。
これを代入して計算していきます。
この結果により第一項のみを考えて計算していけばいいことになります。
となるので円盤の中心を通り、円盤の法線との角をなす直線に関する円盤の慣性モーメントは次のようになります。
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