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長方形板の慣性モーメント

長方形板の慣性モーメントの導出過程

初めに(20210619)

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辺の長さ2a,2bの厚さの無い長方形板の重心を通る対称軸の慣性モーメントの計算

長方形板の慣性モーメント

x軸、y軸、z軸まわりの慣性モーメントをそれぞれIx, Iy, Izとします。


板の重さをmとすると板の面密度は、

 

棒の面密度

 

位置(x, y)のところにある微小部分の面積はds = dxdyなので微小部分における質量は、

 

長方形板の面密度

 

 

これらを使ってそれぞれの軸に対する慣性モーメントを計算していきます。

(i)Ix軸に関する慣性モーメント

x軸から微小部分までの距離はyであるのでdIは、

棒の微小面積部分のdIx

 

これを全体にわたってたしあげます。

 

x軸に関しての棒の慣性モーメント計算過程

 

x軸に関しての棒の慣性モーメント計算過程

x軸に関しての棒の慣性モーメント計算過程


 

となるので長方形板のx軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。

 

 

x軸に関する慣性モーメントの結果


(ii)Iy軸に関する慣性モーメント

y軸からの微小部分までの距離はxなのでdIは、

 

y軸周りに関する棒の慣性モーメント

たしあげます。

 

y軸周りに関する棒の慣性モーメント積分計算過程

 

y軸周りに関する棒の慣性モーメント積分計算過程

y軸周りに関する棒の慣性モーメント積分計算過程


よって長方形板におけるy軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。

 

 

y軸周りに関する棒の慣性モーメント積分計算結果


 

(iii)Iz軸に関する慣性モーメント

z軸から微小部分までの距離は、

 

回転軸z軸から微小部分までの距離変数

 

dIzは、

dIz

長方形板のz軸周りの慣性モーメントの積分計算過程

 

長方形板のz軸周りの慣性モーメントの積分計算過程

長方形板のz軸周りの慣性モーメントの積分計算過程

長方形板のz軸周りの慣性モーメントの積分計算過程


よって長方形板のz軸まりの慣性モーメントは以下のようになります。

 

長方形板のz軸周りの慣性モーメントの積分計算結果


 

ここで先ほどのIx, Iyの結果と見比べてみると

 

慣性モーメントの合成則

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