よくわかる慣性モーメント

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任意の点０を通る軸のまわりの慣性モーメントの計算

重心を通る１つの軸があるとし、それを軸として、軸の周りの剛体の慣性モーメントをとします。 この軸に平行での距離を隔てた軸まわりの慣性モーメントを考えてみましょう。 の式を積分の形にすれば、

点のの周りのモーメントは、

ここでを質量中心の座標とします。
積分の第２項は質量中心を通り、軸に平行な軸まわりの慣性モーメントであり、これをとします。

 

質量中心より回転の中心0までの距離をとすると

さらに第３項のおよびは質量中心の定義においてゼロ。

 

以上の結果より慣性モーメントとして、

すなわち、 が導かれます。

 

定理

任意の軸周りの慣性モーメントは、質量中心を通り、
この軸に平行な軸の周りの慣性モーメントをとすると 、

平行軸の定理を利用した慣性モーメント計算例

簡単な例として棒の慣性モーメントを取り上げます。
重心の位置をとするからまでの棒の距離の長さを、質量Mの一様な棒の左へだけ移動した端を通る軸に関する慣性モーメントをこの平行軸の定理を使って求めます。

端点に関する慣性モーメントの直接の導出

まず最初に平行軸の定理を使わない形での端点に関する棒の慣性モーメントを求めてみます。
重心の位置をとしています。

 

座標系は回転軸をとする軸をとり、上図より回転軸軸より長さの一様な質量Mの棒の慣性モーメントに関する棒の中心軸ではない端の部分の慣性モーメントを求めてみます。

 

微小部分の長さは、

 

 

微小線要素部分の密度は、

 

 

これにより微小部分の体積密度は、

 

 

回転軸からの距離に関する積分範囲は、

 

 

さらに回転軸から任意の微小部分への距離は、

 

 

となるので微小線要素部分は以下のようになります。

 

 

これを積分範囲のからまで足し上げます。

 

 

 

となるので端点における棒の慣性モーメントの結果はひとまず以下のようになります。

 

平行軸の定理を使った慣性モーメントの導出過程

新たに以下のように重心を通る中心軸に関する軸をy軸として以下のように座標系を置きます。

まずこの棒の重心軸に関する慣性モーメントを求めると次のようになります。

 

一様な棒の重心に関する慣性モーメントの詳しい導出過程はこちら

 

これを平行軸の定理に代入すると、

 

 

 

よって棒の中心軸から離れた端を通る位置に関する慣性モーメント以下のように求まります。

平行軸の定理を使わず直接求めた端点における慣性モーメントの結果と同じになります。

そして当ドメイン（よくわかる慣性モーメント）に組み入れたのは2017年になります。