よくわかる慣性モーメント

平行軸の定理

平行軸の定理と慣性モーメント

初めに(20210619)

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任意の点0を通るz軸のまわりの慣性モーメントの計算

重心を通る1つの軸があるとし、それをz軸として、z軸の周りの剛体の慣性モーメントをI0とします。 この軸に平行でhの距離を隔てた軸まわりの慣性モーメントを考えてみましょう。

平行軸周りの慣性モーメント

の式を積分の形にすれば、

連続型りの慣性モーメント公式

P軸点の0の周りのモーメントは、
平行軸の定理における慣性モーメント
平行軸の定理における慣性モーメント 平行軸の定理における慣性モーメント

ここで平行軸の定理を質量中心の座標とします。
積分の第2項は質量中心を通り、z軸軸に平行な軸まわりの慣性モーメントであり、これをz軸に平行な軸周りの慣性モーメントIcとします。

 

質量中心より回転の中心0までの距離をhとすると

質量中心より回転軸までの距離

さらに第3項の第3項xの質量中心の定義および第3項yの質量中心の定義は質量中心の定義においてゼロ。

 

以上の結果より慣性モーメントとして、

平行軸の定理における慣性モーメントの公式1

すなわち、

平行軸の定理における慣性モーメントの公式2

が導かれます。

 

定理

任意の軸周りの慣性モーメントは、質量中心を通り、
この軸に平行な軸の周りの慣性モーメントをz軸に平行な軸周りの慣性モーメントIcとすると 、

平行軸の定理における慣性モーメントの公式

平行軸定理の簡単な例

平行軸の定理を利用した慣性モーメント計算例

簡単な例として棒の慣性モーメントを取り上げます。
重心の位置を0とする-aからaまでの棒の距離の長さを2a、質量Mの一様な棒の左へ-aだけ移動した端を通る軸に関する慣性モーメントをこの平行軸の定理を使って求めます。

端点に関する慣性モーメントの直接の導出

まず最初に平行軸の定理を使わない形での端点に関する棒の慣性モーメントを求めてみます。
重心の位置をx = aとしています。

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

 

座標系は回転軸をx = 0とするy'軸をとり、上図より回転軸y'軸より長さ2aの一様な質量Mの棒の慣性モーメントに関する棒の中心軸ではない端の部分の慣性モーメントを求めてみます。

 

微小部分の長さは、

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

 

微小線要素部分の密度は、

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

 

これにより微小部分の体積密度は、

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

 

回転軸からの距離に関する積分範囲は、

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

 

さらに回転軸から任意の微小部分への距離は、

 

棒の回転軸からの距離

 

となるので微小線要素部分dy'は以下のようになります。

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

 

これを積分範囲の0から2aまで足し上げます。

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

 

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程


 

となるので端点における棒の慣性モーメントの結果はひとまず以下のようになります。

 

棒の端点に関する慣性モーメントの計算過程

平行軸の定理を使った慣性モーメントの導出過程

新たに以下のように重心を通る中心軸に関する軸をy軸として以下のように座標系を置きます。

平行軸定理を使用した棒の慣性モーメントの具体的な例

まずこの棒の重心軸に関する慣性モーメントを求めると次のようになります。

平行軸定理を使用した棒の慣性モーメントの具体的な例

 

棒の慣性モーメントの計算過程

棒の慣性モーメントの計算過程

棒の慣性モーメントの計算過程


 

一様な棒の重心に関する慣性モーメントの詳しい導出過程はこちら

 

これを平行軸の定理に代入すると、

 

平行軸定理を使用した棒の慣性モーメントの具体的な例

 

平行軸定理を使用した棒の慣性モーメントの具体的な例

平行軸定理を使用した棒の慣性モーメントの具体的な例

平行軸定理を使用した棒の慣性モーメントの具体的な例


 

 

よって棒の中心軸から離れた端を通る位置に関する慣性モーメント以下のように求まります。

 

平行軸定理を使用した棒の慣性モーメントの具体的な例


平行軸の定理を使わず直接求めた端点における慣性モーメントの結果と同じになります。

この定理は物体の重心に対する回転軸周りに関しての慣性モーメントを導出した際に、その軸と平行な任意の軸周りの慣性モーメントを求めるのに役に立ちます。

 

ここまでの学習においては重心周りの剛体の運動の考察を中心に行ってきましたが、この定理を使うと、例えば穴が開いている円盤においてその重心が円盤の中心よりずれているなどの場合などの慣性モーメントを導出するのにその威力を発揮します。

 

ちなみに余談になりますが最初の記事はyahoo掲示板にこのくりぬき慣性モーメントの質問がありそれがきっかけで2013年にこちら本サイトにてアップロードしたのがきっかけになります。

平行軸の定理における慣性モーメント


そして当ドメイン(よくわかる慣性モーメント)に組み入れたのは2017年になります。

 

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