積分の式においての微小面積要素dsは全セクションにおいて示された極座標とデカルトの２種類が挙げられ、どちらを使って求めるかは求める面積の形によってうまく使い分ける必要があります。こうしたことを前提に、次に示される図形の面積を二重積分の式を使って求めてみましょう。
(1.1)を不定積分、(1.2)のほうを定積分といいます。最初の部分にでている“∫”はインテグラルといい積分そのものを意味します。f(x)が被積分関数であり、dxはこの場合xで積分しなければならないということを意味しています。
2変数における重積分について考察していきます。dxdyは微小な面積としインテグラルは領域をSとした場合にそれを全体にわたって足し上げることを意味しておりこのことをデカルト座標系と極座標系のそれぞれにおいて考察していきましょう。
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球殻の慣性モーメント
球殻の中心を通る軸に関する慣性モーメント ━ 一様密度で質量Mが、外径bが、内半径aがの球殻の中心を通る慣性モーメントの厚さがある場合と厚さを無視できる場合の慣性モーメントを考察していきます。
１つの式の中に２つの変数がある場合の関数z=f(x,y)を考えてみましょう。変数は２つあるので、このときの微分の仕方には次の２種類あります。これを偏微分、または偏導関数といい、これは分母にある変数で偏微分せよという意味の記号です。一般的には“ラウンド”などという呼び方をします。
微分積分学における導関数について、ここでは基本的な微分に関して簡単に説明していきます。関数の極限に関して次のように考えます。
このチャプターでは微分積分における基本的な計算からそれらを発展させた偏微分、さらには一変数関数の積分、2重積分などの重積分に関する例題とその解法などについて詳しく説明していきます。
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長方形板の慣性モーメント
辺の長さ2a,2bの厚さの無い長方形板の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントの計算
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円柱の慣性モーメント
円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントの計算 ━ 半径がa、高さがｌで質量がMとする円柱のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸におけるそれぞれの慣性モーメントを計算していきます。
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半球体の慣性モーメント
半球体の重心を通る軸に関する慣性モーメントの導出 ━ 質量がM、半径がaの半球体の重心周りに関する慣性モーメントの計算過程。