円錐の頂点底面重心周りの慣性モーメント（作成中）

平行軸定理を利用した円錐に関する慣性モーメントの求め方

このセクションでは平行軸の定理を利用した円錐の頂点周り、円錐底面に平行で中心点を通る軸周りに関する慣性モーメント、さらには円錐の重心回りに関する慣性モーメントについて考察していきます。

この円錐の頂点周りの慣性モーメントに関しては、まず円錐内における底面と平行な法線面内における円盤とみなした部分の円盤の慣性モーメントを導きだし、それに対して平行軸の定理を使って目的とする頂点周り、底面周り、そして重心回りに関する慣性モーメントを導き出していきます。

平行軸の定理

平行軸の定理とは、剛体の重心を通る慣性モーメントに対し、その慣性モーメントの軸とは平行な任意の場所における軸周りに関する慣性モーメントを求める際に利用される定理になり式としては次のようになります。

上記式において左辺が求めようとする任意の軸周りの（重心軸を通る慣性モーメントと平行な）慣性モーメント、右辺第１項が重心軸に関する慣性モーメントになり、第2項の高さ高さが重心軸とは平行な軸までの距離、そして円錐の質量質量が質量になります。

今回の場合、上記の定理をそのまま適用するのではなく、この場合移動させる距離変数が微小円盤要素円錐内の微小厚さ円盤部分の質量の中に入っているので積分を実行する前の形において距離変数微小円盤内の距離変数を組み入れ、それで微小厚さ微小円盤内の単位微小厚さで積分して目的の定理の第2項を導いていくことになります。

回転軸が円盤の中心を通り円盤と平行な場合の慣性モーメントの計算過程

円錐における任意高さにおいて、その任意高さでの厚さの円盤の慣性モーメントを求めますがまず最初に回転軸が円盤の中心を通りその円盤と平行な場合の慣性モーメントの導出をします。

円盤の慣性モーメントの導出

上記画像の円盤に関して円盤の質量を、半径をとします。 また座標系は前回と同様にデカルト座標ではなく平面極座標のヤコビアンを使用して微小面積は、 面積が円盤の面積なので、この円盤の面積密度は、

さらにこの場合軸からの距離は、

これらにより円盤のは以下のようになります。

なお途中の計算過程において三角関数の次のような公式を使用していきます。

これを使って以下のように積分式を計算していきます。

これにより円盤の重心を通り法線面と同一な方向軸に関する慣性モーメントは以下のようになります。

逆さ円錐の頂点周りに関する慣性モーメントの導出

円錐内の任意の高さにおける軸と平行な（頂点まわりの）慣性モーメントの導出

上記の円錐の任意の高さ任意の高さzにおけるx軸軸に平行な軸に関する慣性モーメントを求めます。

まず最初に右のような円錐の高さに関する相似関係によって任意の高さ任意の高さzにおける円盤の半径に関する距離変数距離変数距離変数ｒを求めます。

X軸軸に平行な任意の高さzにある重心を通る円盤面上の慣性モーメントを今仮に$I_{x^{\prime}}$、その任意高さ高さzにある微小厚さ$dz$の円盤の質量をX軸に平行な円錐の質量$dm$とします。