長方形板の慣性モーメント
長方形板の慣性モーメントの導出過程
辺の長さ2a,2bの厚さの無い長方形板の重心を通る対称軸の慣性モーメントの計算
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rectangular_plate_moment_of_inertia_default_img_.png)
軸、
軸、
軸まわりの慣性モーメントをそれぞれ
とします。板のおもさを
とすると板の面密度は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/bar_areal_density_large_img.png)
位置のところにある微小部分の面積は
なので微小部分における質量は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/square_surface_density_img.png)
これらを使ってそれぞれの軸に対する慣性モーメントを計算していきます。
軸に関する慣性モーメント
軸から微小部分までの距離は
であるので
は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_dix_large_img.png)
これを全体にわたってたしあげます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_x_axis_moment_of_inertia_calculate_process_img0.png)
となるので長方形板の軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_x_axis_momnt_of_inertia_result_img.png)
軸に関する慣性モーメント
軸からの微小部分までの距離は
なので
は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_diy_large_img.png)
たしあげます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_x_axis_moment_of_inertia_calculate_process_img0-1.png)
よって長方形板における軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_y_axis_moment_of_inertia_result_img.png)
軸に関する慣性モーメント
軸からの微小部分までの距離は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/z_axis_distance_large_img.png)
は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_diz_large_img.png)
たし上げます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_z_xis_moment_of_inertia_calculate_process_img0.png)
よって長方形板の軸まりの慣性モーメントは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rod_z_axis_moment_of_inertia_result_img.png)
ここで先ほどのの結果と見比べてみると、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/rectangular_plate_moment_of_inertia_synthsis_huge_img.png)