円輪の慣性モーメント
円輪の慣性モーメントの導出過程
円輪の中心を通る対称軸に関する慣性モーメントの計算
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_ring_gnuplot_img1.png)
極座標系を取り軸周りの慣性モーメントをそれぞれ
とし、質量は
、半径は
、円周は
とします。
なので円輪の線密度は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_ring_element_density.png)
角度変数の微小部分長は
。
これにより微小部分の質量は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_ring_volume_density_2022img.png)
そしてのとる範囲は
になります。
軸まわりの慣性モーメント
軸からの微小部分までの距離は
これらによりは、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/dix_axis_circular_ring_img.png)
全体にわたってたし上げます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/ix_xaxis_circular_ring_moment_of_inertia_calc_img1.png)
よって円輪の中心を通る軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_ring_xaxis_moment_of_inertia_2022img.png)
軸まわりの慣性モーメント
軸からの微小部分までの距離は
。
は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/diz_zaxis_circular_ring_img.png)
全体にわたってたしあげます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/iy_yaxis_circular_ring_moment_of_inertia_calc_img.png)
よって円輪の中心を通る軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/yaxis_circular_ring_moment_of_inertia_calc_img5.png)
軸周りの慣性モーメント
軸からの微小部分までの距離は
。
は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/diz_z_axis_circular_ring_img.png)
全体にわたってたしあげます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/iz_zaxis_circula_ring_moment_of_inertia_calc_img.png)
となるので円輪の軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/a_axis_circular_ring_moment_of_inertia_calc_img.png)
ちなみにこの円輪に対しても長方形板のときと同じように、次のような関係式が成り立っています。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_ring_moment_of_inertiatheorem_huge_2022img.png)