円盤の慣性モーメント①


円盤の慣性モーメントその①

円盤の対称軸に関する慣性モーメントの計算

半径円盤の半径R、質量が円盤の質量Mの円盤を考えます。

この円盤の中心を通りその円盤に垂直な軸の周りの慣性モーメントを求めてみましょう。

平面極座標による座標変換

まず座標系は2次元の平面極座標として捉えます。

このときの微小部分の面積はヤコビアンの計算平面極座標系ヤコビアンにより、

平面極座標系におけるヤコビアン
平面極座標系におけるヤコビアン

さらに全質量が質量M、面積が円盤の面積πR^2であるので円盤の密度は、

円盤の密度ρ

よって微小部分の質量は、

円盤の微小部分の質量

軸からの距離、

円盤の回転軸からの距離r

これらの結果によりは次のようになります。

円盤の微小部分における慣性モーメントdI

積分によってたし上げます。

円盤の対称軸における慣性モーメントの積分計算過程

よって円盤の慣性モーメントは次のようになります。

円盤の対称軸に関する慣性モーメントの計算

円盤と平行な回転軸の慣性モーメントの計算

円盤と平行な回転軸の慣性モーメント

回転軸が円盤の中心を通り、その円盤と平行な場合の回転軸における慣性モーメントの計算をしていきます。

円盤の質量を、半径をとします。
先ほどと同じように微小面積は
さらにこの場合軸からの距離は、

またはでもかまいません。

これらによりは、

これを積分によって足し上げます。

よって円盤面内の軸に関する慣性モーメントは、

長形板慣性モーメント

長方形板の慣性モーメントの導出過程 ━ 辺の長さがそれぞれ2a,2bの厚さを考えない長方形板の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントの計算

直方体慣性モーメント

直方体の慣性モーメントの導出過程 ━ それぞれの辺の長さを2a、2b、2cとした場合の直方体の重心を通る軸に関する慣性モーメントの計算

棒の慣性モーメント①

棒の対称軸に関しての慣性モーメントの導出過程 ━ 長さ2aの棒の中点を通り棒に垂直な軸に関する慣性モーメントの導出計算過程

棒の慣性モーメント②

棒の慣性モーメントその②の導出過程 ━ 長さ2aの細長い棒の中点を通り棒とαの角をなす直線に関する慣性モーメントの導出過程

円盤の慣性モーメント①

円盤の対称軸に関する慣性モーメントの計算 ━ 半径、質量がの円盤を考えます。この円盤の中心を通りその円盤に垂直な軸の周りの慣性モーメント

円盤の慣性モーメント②

円盤の慣性モーメントその② ━ 円盤の中心を通り、円盤の法線面上の垂直線とαの角をなす直線に関する慣性モーメントを求めます。

中空円盤の慣性モーメント

中空円盤の慣性モーメントの導出過程 ━ 中空円盤の内半径をa、外半径をbとします。こうしたときの中空円盤の慣性モーメントを求めていきます。

円錐の慣性モーメント

円錐の慣性モーメント ━ ある質点間の距離が変化しない円錐の頂点と、底面の中心を通るZ軸周りの慣性モーメントを求めていきます。

球の慣性モーメント

球の慣性モーメントの計算 ━ 球の中心部分となる重心点を通る軸に関する慣性モーメント。考える球体の質量はM、半径はRの均一な球体とします。

円輪の慣性モーメント

円輪の中心を通る対称軸に関する慣性モーメントの計算。極座標系を取り質量はM、半径はa、円周は2πnとしたときのx,y,z軸周りの慣性モーメント

球殻の慣性モーメント

一様密度で質量M、外径b、内半径aの球殻の中心を通る慣性モーメントの厚さがある場合と厚さを無視できる場合の慣性モーメントを考察していきます。

円柱の慣性モーメント

円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントの計算 ━ 半径がa、高さがlで質量がMとする円柱のxyz軸におけるそれぞれの慣性モーメント。

中空円筒の慣性モーメント

中空円筒の重心を通る軸に関する慣性モーメントの計算 ━ 一様密度で質量がM、半径がa、長さをlとし、円筒の外側の厚さは無視できるものとします。

半球体の慣性モーメント

半球体の重心を通る軸に関する慣性モーメントの導出 ━ 質量がM、半径がaの半球体の重心周りに関する慣性モーメントの計算過程。

くり抜円盤慣性モーメント

くり抜かれた円盤の慣性モーメントに関して、平行軸の定理を利用して目的とする円盤の慣性モーメントの導出に関して詳しく解説していきます。

円錐の慣性モーメント-2

円錐の頂点周り、円錐底面に平行で中心点を通る軸周りの慣性モーメント、さらには円錐の重心回りの慣性モーメントについて考察していきます。


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