微小体積要素dvの求め方

dv計算法-ヤコビアンを使うやり方

座標系座標系へ座標変換するとき先ほどのセクションで出てきた関数行列式をつかうと次のようになります。

ここで中央部分の行列は、

となることに注意します。分子にあたる部分が新座標系、分母にあたる部分が旧座標系というように考えます。

極座標

実際にデカルトから極へ移行するときの

を関数行列式で求めてみましょう。

まず、

より、これに対する関数行列式（ヤコビアン）は次のようになります。

この関数行列式（ヤコビアン）におけるの位置表現に対してはつぎのものを使います。

これらをヤコビアンの行列式の中に示されるそれぞれの偏微分の式に当てはめて計算していけば、

上記の結果によりにより極座標におけるヤコビアンは、

となるので、今度は実際にこのヤコビアンを計算していきます。

ちなみにここではサラスによる計算法ではなく、行列式展開法というやり方でその計算過程を示します。

よって極座標における微小体積要素は次のようになります。

円柱座標

今度はデカルトから円柱座標へのヤコビアンを求めてみましょう。

円柱座標は、

となるので、この円柱座標に対するヤコビアンの中の偏微分の式は、

それぞれの偏微分を計算していくと、

代入していきます。

よって円柱座標における微小体積要素は次のようになります。