円盤の慣性モーメントその②

円盤の中心を通り、円盤の法線とαの角をなす直線に関する慣性モーメントを求めます。

円盤の半径を、質量をとします。円盤の面密度は、

平面極座標を適用すれば微小部分の面積はとなるので微小部分の質量は、

ここでまず、図のように軸が平面に含まれるように座標系をとります。
原点を通り方向余弦がの直線との距離の２乗は次のように与えられます。

今考えている点では平面にあるので、軸の方向余弦はとなります。
円盤上の点と軸の間の距離$R$の２乗は、

これを極座標に変換すると、

これによりは、

なお上記に対して積分を実行する場合、以下のような三角関数の公式を使用します。

これより上式の右辺に関して次のように積分計算を実行していきます。

さらに上式の右辺第2項に関しては次のように変数変換（置換積分）して積分計算していきます。

これを代入して計算していきます。

この結果により第一項のみを考えて計算していけばいいことになります。

となるので円盤の中心を通り、円盤の法線との角をなす直線に関する円盤の慣性モーメントは次のようになります。