平行軸定理の応用①

くり抜き円盤の慣性モーメントの導出方法

画像の左側の斜線なしの部分は、元の円盤（半径）から半径の部分をくりぬいたものと考えてください。

中心を、半径の円盤から、その半径を直径とする円をくり抜いた残りの部分のを通り、円盤に垂直な軸に関する慣性モーメントを求めます。

考える剛体を、くり抜く円を、軸を軸とし、くり抜く前の円盤剛体をとします。

さらに円をくり抜く前の円盤の軸周りの慣性モーメントを、考える剛体における軸周りの慣性モーメントを、さらにくり抜いた円盤剛体の軸周りの慣性モーメントをとします。

まず慣性モーメントの定義により次のような式が成り立ちます。

これを変形させると、

次にを考えます。

円をくり抜く前の円盤の質量をとすると今考えている円盤におけるその面積密度に関しては、

微小面積は平面極座標を使えば、

となるので、微小部分の質量は、

これらにより微小面積要素は以下のようになります。

これらをもとに式を組み立てて計算していきます。

よってくり抜き前の円盤に関する慣性モーメントは以下のようになります。

次にを考えます。
の部分の質量は、

であり、このを求めるためにの中心を通り、に垂直な軸周りの慣性モーメントを求めます。

における面積密度は、

微小面積は平面極座標系を使用するのでヤコビアンは以下、

そして軸からの距離はであるので、の微小面積要素における慣性モーメントは以下のようになります。

この積分式を計算していきます。

よっての慣性モーメントは以下のように求まります。

ここで求めたい慣性モーメントはと軸が並行で、距離がだけ離れています。

そこで平行軸の定理を使用します。

上記の平行軸の定理（シュタイナーの定理）において、左辺の求めるを、右辺第１項のがに対応し、そして右辺第２項の質量に当たるが、そして同じく右辺第２項のが回転軸からの距離の2乗になるので、結果、次のような式が導かれます。

それぞれ代入し計算していきます。

よってくり抜いた円盤剛体の慣性モーメンに関しては以下のように求まります。

これらの結果により求めようとしているくり抜かれた円盤の慣性モーメントは、

だったのでそれぞれに代入していって計算していきます。

これらの結果により求めようとしているくり抜かれた円盤の慣性モーメントは、