２重積分例題

例題①

以下の図に示される２つの直線に囲まれた面積に対して重積分を使って求めてみましょう。

やり方としては、まず求める面積をとし、それを右図のように２つに分割してそれぞれをと置きます。
の間では、

さらにの間では、

といった感じで積分領域を区分けし、これを計算していきます。

例題②

底辺の長さが、高さがの二等辺三角形の面積。３つの頂点の座標をとします。

領域を図のようにの二つに分けて考えます。

の計算

から、直線の方程式より、

これが方向の上限になります。

以下のように積分領域を決定して計算していきます。

の計算

より、先ほどと同様にして直線の方程式に代入して計算していきます。

これがにおける方向の上限になります。

同様にして積分範囲を決定して計算していきます。

足し合わせます。

これより以下のように求まります。

例題③

角度の範囲の半径がの円の面積。
これの積分領域は、

よって積分の式は次のようになります。

これを計算していきます。

ここでという変数変換（置換積分）をすると、

となるので、

より、

例題④

半径がの円の面積。

ここで先ほどと同じようにとする変数変換をすると、

となるのでこれを代入して計算していけば、

より、

極座標の場合

ついでに例題③と例題④の積分計算を今度は極座標でやってみましょう。

このデカルトから極座標へ移行する場合、

となることに注意します。

例題③極座標の場合

極座標のときの積分領域は、

これにより、

例題④極座標のとき

このときの積分領域は、

これにより、