重積分
重積分学
2変数の積分
形としては次のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/multiple_integral_default_2022img.png)
の意味
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/multiple_integral_3images_2022img-1.png)
は座標系で表現したときの微小面積になります。
ただしこの微小面積は座標系によ
って異なります。
座標系に依存しない形ではと書き、先ほどのデカルト表現においては
になります。
ここでこのを図で考えてみましょう。
座標系がのとき、
点
を考える。
すべての変数を
ずらす。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/multiple_integral_img15.png)
すべての経路によって囲まれた部分の面積が面積要素
になる
デカルト座標系のでの![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/ds.png)
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/multiple_integral_img18.png)
面積要素
になる。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/multiple_integral_img20.png)
●極座標における微小面積
の面積の求め方
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/ds_polar_conversion_2024img.png)
これより以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/ds_polar_conversion_2024img2.png)
求められた上記の式において、第一項が微少量の2次、第二項が微少量の3次になります。
ひとまず、この場面においては上記の微少量の3次はキャンセルできるとしましょう。
そうすると極座標における微小面積は次のように表現できることになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/ds_polar_conversion_rdrdheta_2024img.png)