微小面積要素の計算

関数行列式（ヤコビアン）

ある座標を他の座標系へ変えるとき、

という式が成り立ちます。
このときのをヤコビアン（関数行列式）と呼び、次のように表せるものになります。

実際にデカルトから極座標への変換をこのヤコビアン（関数行列式）をつかって求めてみましょう。
まず、デカルト座標においてを表すと、

このの式をそれぞれによって偏微分していきます。

座標系からへ移行するヤコビアンは、

これにそれぞれを代入してこの行列式を計算していきます。

上記の計算結果を入れれば、

よってデカルト座標のは、ヤコビアンによる平面極座標変換によって以下のように求まります。

微小体積要素の移動ルート

一般的な座標への移動を考えてみましょう。

この移動のルートには通りがあります。

デカルト座標系

上記のルート表にデカルト座標系を当てはめていけば次のようになります。

極座標系

円柱座標系