質点系の力学

複数の質点からなる物理系の話

離散的な系

次に示される三質点系を考えます。

この時各質点に働く力は、

外力
内力

さらに内外の場合、必ず作用・反作用の法則によって大きさが同じで向きが逆の一組の力があると考えます。

物理法則

上記の三質点系については次のような運動方程式が成立します。
１～３の質点の運動方程式は、それぞれ、

このをそれぞれたすと、

となりますが、ここで先ほどのを使うと、などとなるので結局、

といった具合になります。

さらにここにおいて重心を、

とした場合、次のように表現できます。

のところに質量の質点があってそれに（すべての外力）が働いている━

つまりかなり大雑把な言い方になりますがは次のような区分けができることになります。

離散的な系
連続的な系

例題①　－　棒の重心

以下に示すような長さがの均一な質量の棒の重心を求めてみましょう。

まず長さがの部分の質量を求めます。
ディメンジョン１と捉えれば、この棒の線密度は、

これにより、

連続的であるので、

よって長さの棒の重心は以下のようになります。

例題②　－　円錐の重心

上図のような均一で質量がで高さが、底面の半径がの円錐の重心を求めます。

まず円錐の体積は、

これにより円錐の体積密度は、

ここでは円錐の任意の高さに対する半径で面積が、厚さの微小厚さの円盤の質量をとすると、

として、次のように円錐の質量をと置きます。

円錐の重心に関しては図から軸周りにあると考えられるので軸線軸上の任意の点zを距離変数として採用します。

また、図中のに関しては以下のような相似関係を使って導いています。

これらにより、円錐の重心は分母の円錐質量の質量Mとわかっているので上記式の分子がわかれば重心の位置が求まることになります。

上記式の分子の部分を計算していきます。

の式に代入していきます。

これより、円錐の重心は以下のように求まります。

例題③　－　正方形の重心

軸におけるそれぞれの単位ベクターをとすると、

となるのでこれより、

微小部分の面積はで、密度は、

これらにより、

足し上げていきます。

これより正方形の板の重心は、

よって以下のように求まります。