中空円筒の慣性モーメント
中空円筒の慣性モーメントの導出過程
中空円筒の重心を通る軸に関する慣性モーメントの計算
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/cylindrical_tube_gnuplot_img1-1.png)
図のような中空円筒を考えます。
この中空円筒は一様密度で質量が、半径が
、長さが
とし、円筒の外側の厚さは無視できるものとします。
軸周りの慣性モーメント
円輪の密度は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_ring_volume_density_huge_img.png)
角度変数はなので微小部分の質量は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/cylindrical_tube_img7.png)
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_ring_mass_minute_parts_huge_img.png)
軸から微小部分までの距離は
。
これによりは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/solid_cilinder_ring_diz_particles_moment_of_inertia_huge_img.png)
たし上げます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/hollow_cilinder_z_axis_throught_centroid_moment_of_inertia_integral_calculate_process_img.png)
よって中空円筒におけるz軸周りの慣性モーメントの積分計算結果は以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/hollow_cilinder_z_axis_throught_centroid_moment_of_inertia_integral_calculate_result_img.png)
(または
)軸周りの慣性モーメント
円輪の密度は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/volume_density_circular_cilinder_rho_huge_img.png)
軸から微小部分までの距離は、
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/ciclinderical_tube_distance_yx_axis_rotation_large_img.png)
これによりは次のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/circular_cilinder_diy_moment_of_inertia_large_img.png)
これを足し上げます。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/cilinderical_tube_y_axis_moment_of_inertia_integral_calculate_process_img.png)
よって中空円筒における軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/cilinderical_tube_x_y_axis_moment_of_inertia_integral_calculate_result_huge_img.png)
![](https://moment-of-inertia.jp/wp-content/uploads/2024/05/cylindrical_tube_mathematica_img1.png)