長方形板の慣性モーメントの導出過程

辺の長さ2a,2bの厚さの無い長方形板の重心を通る対称軸の慣性モーメントの計算

軸、軸、軸まわりの慣性モーメントをそれぞれとします。板の重さをとすると板の面密度は、

位置のところにある微小部分の面積はなので微小部分における質量は、

これらを使ってそれぞれの軸に対する慣性モーメントを計算していきます。

軸に関する慣性モーメント

軸から微小部分までの距離はであるのでは、

これを全体にわたってたしあげます。

となるので長方形板の軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。

軸に関する慣性モーメント

軸からの微小部分までの距離はなのでは、

たしあげます。

よって長方形板における軸周りの慣性モーメントは以下のようになります。

軸に関する慣性モーメント

軸からの微小部分までの距離は、

は、

たし上げます。

よって長方形板の軸まりの慣性モーメントは以下のようになります。

ここで先ほどのの結果と見比べてみると、

という関係式が導かれます。