球殻の慣性モーメントの導出過程

球殻の中心を通る軸に関する慣性モーメント

【Ⅰ】一様密度で質量が、外径が、内半径がの球殻の中心を通る慣性モーメント

この場合の球殻の体積は、

よって体積密度は、

使用するヤコビアンは極座標にします。

回転軸から伸ばした腕の長さは。

これらによりは次のようになります。

これをこれをたしあげます。

ここで上記計算のの計算は以下の公式におけるの乗数を０として次のように導き出しています。

【Ⅱ】厚さを無視できる場合の球殻の慣性モーメント

一様密度で質量が、半径がの厚さを無視できる場合における球殻の中心を通る軸に関する慣性モーメントに関して考察していきます。

なので密度は面密度、

さらに回転軸からの距離は、

この問いの場合、微小体積要素は微小面積要素になります。

なので対象とするヤコビアンは以下、

より、

これらによりは、

これを足し上げます。

よって、一様密度で質量が、半径がの厚さを無視できる場合における球殻の中心を通る軸に関する慣性モーメントは以下のように求まります。