平行軸定理の応用
初めに（20210619）
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くり抜き円盤の慣性モーメントの導出方法
上の絵の左側の斜線なしの部分は、元の円盤（半径
）から半径
の部分をくりぬいたものと考えてください。
元の円盤の中心を
、半径の円盤から、その半径を直径とする円をくり抜いた残りの部分の
を通り、円盤に垂直な軸に関する慣性モーメントを求めます。
考える剛体を
、くり抜く円を
、軸を
軸とし、くり抜く前の円盤剛体を
とします。
さらに円をくり抜く前の円盤の軸周りの慣性モーメントを
、考える剛体における軸周りの慣性モーメントを
、さらにくり抜いた円盤剛体の軸周りの慣性モーメントを
とします。
まず慣性モーメントの定義により次のような式が成り立ちます。
これを変形させると、
次にを考えます。
円をくり抜く前の円盤の質量を
とすると今考えている円盤におけるその面積密度に関しては、
微小面積は平面極座標を使えば、
となるので、微小部分の質量は、
になります。
これらにより微小面積要素
は以下のようになります。
これらをもとに式を組み立てて計算していきます。
よってくり抜き前の円盤に関する慣性モーメントは以下のようになります。
次にを考えます。
まず、の部分の質量は、
であり、このを求めるためにの中心を通り、そのに垂直な軸周りの慣性モーメント
を求めます。
における面積密度は、
微小面積は平面極座標系を使用するのでヤコビアンは以下、
そして軸からの距離は
であるので、くり抜く円の微小面積要素における慣性モーメント
は以下のようになります。
これらによっては 、
この積分式を計算していきます。
結果としての慣性モーメントは以下のように求まります。
ここで求めたい慣性モーメントはと軸が平行で、距離がだけ離れています。
そこで平行軸の定理を使用します。
上記の平行軸の定理（シュタイナーの定理）において、左辺の求める
を、右辺第１項の
がに対応し、そして右辺第２項の質量に当たる
が
、同じく右辺第２項の
が回転軸からの距離の2乗になるので、結果、次のような式が導かれます。
それぞれ代入し計算していきます。
に関しては以下のように求まります。
は、
よってくり抜いた円盤に関する慣性モーメントは以下のように求まります。
くり抜き円盤の慣性モーメント関連ページ
- 円錐の頂点、底面、重心周りの慣性モーメント
- 慣性モーメントとは、簡単に説明すれば物体（剛体）の回転のしづらさ、回りだす変化のしにくさを示す物体の物理的な特性のことだと考えることができるでしょう。またさらに別の言い方をすれば回転の方程式といえるかもしれません。このサイトは主にこの慣性モーメントの導出の仕方と計算法を中心に解説した内容になっています。このエントリーでは円錐の頂点周り、円錐底面と平行な中心軸を通る底面周り、そして最後にそれらの結果から平衡軸の定理を使用した円錐の重心周りの慣性モーメントの導出の方法に関して詳細に解説した内容になっています。
