平行軸定理の応用
初めに(20210619)
当サイトを参考にしてサイト作成・運営している方へのお願い
バックリンクをお願いいたします。
くり抜き円盤の慣性モーメントの導出方法
上の絵の左側の斜線なしの部分は、元の円盤(半径)から半径
の部分をくりぬいたものと考えてください。
中心を、半径
の円盤から、その半径を直径とする円をくり抜いた残りの部分の
を通り、円盤に垂直な軸に関する慣性モーメントを求めます。
考える剛体を、くり抜く円を
、軸を
軸とし、くり抜く前の円盤剛体を
。
さらに円をくり抜く前の円盤の軸周りの慣性モーメントを
、考える剛体
における軸周りの慣性モーメントを
、さらにくり抜いた円盤剛体
の
軸周りの慣性モーメントを
とします。
まず慣性モーメントの定義により次のような式が成り立ちます。
これを変形させると、
次にを考えます。
円をくり抜く前の円盤の質量をとすると、面積密度は
、微小面積は平面極座標を使えば、
となるので、微小部分の質量は、
になります。
これらをもとに式を組み立てて計算していきます。
次にを考えます。
の部分の質量は
であり、この
を求めるために
の中心を通り、
に垂直な軸周りの慣性モーメント
を求めます。
面積密度は、微小面積
、そして軸からの距離は
であるので、
は 、
ここで求めたい慣性モーメントはと軸が平行で、距離が
だけ離れています。
そこで前説ででてきた平行軸の定理を使用します。
くり抜き円盤の慣性モーメント関連ページ
- 長方形板の慣性モーメント
- 長方形板の慣性モーメントの計算。辺の長さ2a、2bの厚さの無い長方形板の重心を通る対称軸に関する慣性モーメント。x、y、z軸のそれぞれにおける対称軸の慣性モーメントをデカルト座標系を使って求めます。
- 直方体の慣性モーメント
- 直方体の慣性モーメントの計算過程。x軸y軸z軸まわりにおけるそれぞれの慣性モーメントを、微小体積要素を求め、さらには微小体積要素部分の慣性モーメントdIをたし上げることにより慣性モーメントを導き出します。使用する座標系はデカルト座標系を用います。
- 棒の慣性モーメント@
- 長さ2aの細長い棒の中点を通り棒に垂直な軸に関する慣性モーメントの計算過程。ディメンジョン1の座標で考え棒の質量はMとします。
- 棒の慣性モーメントA
- 長さ2aの細長い棒の中点を通り棒とαの角度をなす直線に関する慣性モーメント。棒がy−z平面内に含まれるようにし、座標系は極座標系を使用します。さらには軸の方向余弦を求めて角度αをなす直線に関する棒の慣性モーメントを求めていきます。
- 円盤の慣性モーメント@
- 円盤の慣性モーメントの計算過程。半径がR質量がmの円盤に垂直な対称軸に関しての慣性モーメントを求めてみましょう。座標系は2次元の平面極座標を使い、微小面積は極座標のヤコビ計算を行います。
- 円盤の慣性モーメントA
- 円盤の慣性モーメントの計算過程。半径がa質量がMの円盤の中心を通り、円盤の法線をαの角をなす直線に関する慣性モーメントの計算過程。座標系は2次元の平面極座標を使い、方向余弦の直線を考え平面極座標を使って導いていきます。
- 中空円盤の慣性モーメント
- 中空円盤の慣性モーメントの計算過程。内半径がa外半径をbとし、質量がMの中空円盤の中心を通る軸に関する慣性モーメントの計算過程。座標系は2次元の平面極座標を使い、微小部分の質量を求め慣性モーメントを導き出していきます。
- 円錐の慣性モーメント
- 円錐に関する慣性モーメントの計算導出過程。円錐の縦Z軸方向の対称軸に関する慣性モーメントと、平行軸の定理を利用した重心軸から離れた場所での慣性モーメントの計算過程。
- 球の慣性モーメント
- 球体の慣性モーメントの計算過程。質量はM、半径はRの均一な球の中心を通る軸に関する慣性モーメントは極座標を使用して導きます。
- 円輪の慣性モーメント
- 円輪の慣性モーメントの計算過程。質量はM半径はaとし、円輪の中心を通る対称軸に関するx、y、z軸まわりのそれぞれの慣性モーメントを計算していきます。座標系は極座標系を用いて導き出していきます。
- 球殻の慣性モーメント
- 球殻の中心を通る軸に関する慣性モーメントの計算。一様密度で質量がM、外径がb、内半径がaの場合と、球殻の厚さを無視できる場合の2つの慣性モーメントを極座標を用いて導き出していきます。
- 円柱の慣性モーメント
- 円柱の慣性モーメントの計算の具体的な方法。半径がa、高さがl、質量はMとする円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントをx、y、zのそれぞれに分けて求めます。使用する座標系は言うまでもなく円柱座標系を用います。
- 中空円筒の慣性モーメント
- 中空円筒の慣性モーメントの求め方。一様密度で質量がM、半径がa、長さをlとし、円筒の外側の厚さが無視できるものとした場合の中空円筒の重心を通る軸に関する慣性モーメントの求め方。