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くり抜き円盤の慣性モーメント

平行軸定理の応用

初めに(20210619)

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くり抜き円盤の慣性モーメントの導出方法

くりぬき円盤の慣性モーメント


上の絵の左側の斜線なしの部分は、元の円盤(半径a)から半径a/2の部分をくりぬいたものと考えてください。

中心を中心O、半径a smallの円盤から、その半径を直径とする円をくり抜いた残りの部分のo large imageを通り、円盤に垂直な軸に関する慣性モーメントを求めます。

考える剛体をq large image、くり抜く円をr large image、軸をz small image軸とし、くり抜く前の円盤剛体をp large image

さらに円をくり抜く前の円盤のz small image軸周りの慣性モーメントを慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴、考える剛体慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴における軸周りの慣性モーメントを慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴、さらにくり抜いた円盤剛体慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴軸周りの慣性モーメントを慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴とします。

 

まず慣性モーメントの定義により次のような式が成り立ちます。

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これを変形させると、

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次に慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴を考えます。

円をくり抜く前の円盤の質量を慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴とすると、面積密度は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴、微小面積は平面極座標を使えば、

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となるので、微小部分の質量は、

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になります。
これらをもとに式を組み立てて計算していきます。

 

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次に慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴を考えます。慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴の部分の質量は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴であり、この慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴を求めるために慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴の中心を通り、慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴に垂直な軸周りの慣性モーメント慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴を求めます。

面積密度は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴、微小面積慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴、そして軸からの距離は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴であるので、慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴は 、


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ここで求めたい慣性モーメントは慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴と軸が平行で、距離が慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴だけ離れています。

そこで前説ででてきた平行軸の定理を使用します。

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よって慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤,穴より、

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